Zu viele Bälle führen zu einer Wurstkatastrophe, und jetzt gibt es endlich den Beweis

By | January 25, 2024

Gute Nachrichten an alle: Die Wurstkatastrophe wurde mit Polka Dots nachgebildet.

Sehen. Das ist eine wenig bekannte Tatsache in der Mathematik, aber je schwieriger es ist, Ihren Satz zu beweisen, desto alberner muss sein Name sein. Nehmen wir zum Beispiel die Tatsache, dass es in geraden Dimensionen kein kontinuierliches und invariantes Tangentenvektorfeld gibt. N-Kugeln – oder um seinen gebräuchlichen Namen zu verwenden, das Hairy-Ball-Theorem. Oder, hey, brauchen Sie einen Algorithmus, um zu bestimmen, ob eine Reihe von Abschnitten eine Basis für die abelsche Mordell-Weil-Gruppe einer gegebenen elliptischen Oberfläche bildet? Warum probieren Sie nicht die Cox-Zucker-Maschine aus? Und fangen wir gar nicht erst mit all den Theoremen und Konzepten an, die Tits‘ Namen tragen.

Wir sagen das nur, um deutlich zu machen, dass Sphere Packing and the Sausage Catastrophe in Mathe-Kreisen tatsächlich eine große Sache sind, auch wenn sie wie die seltsame Punkband klingen, die Ihre Eltern 1976 gehört haben – und ein kürzlich erschienener Artikel bestätigt eine langjährige Erfahrung. Es ist wirklich beeindruckend und wichtig, ein vermutetes Ergebnis zu dem Problem zu erhalten.

Tatsächlich „ist die Theorie der unendlichen Packungen konvexer Körper, insbesondere der Gitterpackungen von Kugeln, ein grundlegendes und klassisches Thema der Mathematik“, schrieben die Mathematiker Martin Henk und Jörg Wills, die an diesem neuen Ergebnis nicht beteiligt waren, im Jahr 2020 .

„[It] spielt in mehreren Bereichen der Mathematik eine Rolle [such] wie Zahlentheorie, Gruppentheorie, Zahlengeometrie, Algebra und [it] Es gibt unzählige Anwendungen in der Codierungstheorie, Kryptographie, Kristallographie und mehr“, stellten sie fest.

Was genau ist also dieses Problem, das eine so breite Anwendbarkeit hat? Nun, mit einem Wort: Bälle.

Genauer gesagt geht es darum: Wie packt man Bälle am effizientesten? Es scheint eine einfache Frage zu sein – die schwierigeren sind es auch –, aber jahrhundertelang konnte keine endgültige Antwort darauf gefunden werden. Sogar die Lösungen, die wir haben, scheinen seltsam sehr kompliziert: Wir wissen zum Beispiel seit 2005 und sind uns seit 1611 sicher, dass der beste Weg in drei Dimensionen die Verwendung der „Kanonenkugel“-Methode ist – ja, wie es früher die Piraten taten – aber Nur wenn man unendlich viele davon hat. Was, seien wir ehrlich, nicht einmal dem salzigsten Seehund gelang.

Leider ist so ein Unsinn der Fall, wenn wir Mathematiker ein einfaches Problem lösen lassen – weshalb dieses neue Ergebnis von einer Gruppe von Physikern stammt.

„In Wirklichkeit sind jedoch alle Packungen von Natur aus endlich, das heißt, ihre Ausdehnung ist räumlich begrenzt“, schreiben die Forscher (klassisch nicht-mathematischer Ausgangspunkt dort). „Dies wirft die Frage auf, wie man gleichgroße Kugeln am effizientesten in einen vordefinierten Behälter oder in einen flexiblen Behälter wie die kleinere konvexe Hülle, die die Kugeln umgibt, verpacken kann.“

Und im Gegensatz zu Keplers Ansammlungen von Kanonenkugeln ist die Antwort völlig unintuitiv: Es ist eine Wurst. Zumindest zunächst.

„Einer meiner Studenten beobachtete eine lineare Packung, aber es war ziemlich faszinierend“, sagte Hanumantha Rao Vutukuri, Assistenzprofessorin für Experimentalphysik an der Universität Twente, gegenüber New Scientist. Sein Team dachte zu diesem Zeitpunkt noch nicht einmal an dieses Kepler-Rätsel; Sie experimentierten damit, nanoskalige kugelförmige Partikel in mikroskopisch kleine Behälter, sogenannte Vesikel, zu platzieren.

„Wir glauben, dass es eine gewisse Chance gab, also wiederholte er es ein paar Mal und beobachtete immer ähnliche Ergebnisse“, sagte Vutukuri. „Ich habe mich gefragt: ‚Warum passiert das?‘“

War es nun unerwartet? Ja. Aber war es völlig unvorhersehbar? Nein – und tatsächlich es war vorhergesagt vom Mathematiker Fejes Tóth im Jahr 1975. Es zu beweisen war jedoch eine andere Geschichte – und das Team stand zu Beginn seiner Experimente vor einigen Herausforderungen.

„Die Vesikel zerplatzten weiterhin mit mehr als neun Partikeln“, sagte Marjolein Dijkstra, Professorin für weiche kondensierte Materie an der Universität Utrecht, in einer Erklärung. „Das hinderte uns daran, zu testen, wie sich die Partikelstapelung ändern würde, wenn wir mehr als neun hinzufügen würden.“

Glücklicherweise haben wir etwas, das Kepler nie hatte: Computer. Angesichts dieser geplatzten Vesikel wandten sich die Forscher Computersimulationen des Problems zu und untersuchten den effizientesten Weg, nun bis zu 150 Kugeln zu verpacken.

Und es war gut, dass sie so hoch stiegen. Wenn sie mit 55 aufgehört hätten, hätten sie nur eine halbe Antwort bekommen – denn mit 56 passierte etwas Katastrophales.

Buchstäblich. Man spricht von der „Wurstkatastrophe“. Dies ist der Fall, wenn „ein plötzlicher Übergang in der Packungsdichte von einer linearen Anordnung zu einer Klumpenanordnung auftritt, bei der sich die Partikelkoordinaten in alle drei Dimensionen erstrecken“, erklärt das Papier – mit anderen Worten, es wird plötzlich effizienter Ein Haufen von Bällen, wie Kepler es tat, als eine Linie.

Aus diesem Grund sollten wir uns letztendlich um dieses seltsame Problem kümmern. Nicht nur, weil es Spaß macht und Keplers Piratenfreunden einen Abschluss verleiht, sondern weil es zeigt, dass Experimente tatsächlich einen wichtigen Platz in der Mathematik einnehmen können.

„Unsere systematische Untersuchung dieser unterschiedlich geformten Cluster ermöglichte es uns, mit einem praktischen, von der Kolloidphysik inspirierten Ansatz direkt die Existenz bisher nicht identifizierter Cluster zu beweisen, deren Packungseffizienz der der Wurstkonfiguration überlegen ist“, sagte das Team. er schreibt. „Es bleibt jedoch abzuwarten, ob mathematische Beweise für die Packung dieser Cluster und für die gesamte Fejes-Tóth-Vermutung entwickelt werden können.“

„Die Packung endlicher Kugeln ist immer noch ein offenes und faszinierendes Problem“, schließen sie. „Wir glauben, dass unsere Arbeit als Katalysator für zukünftige Forschung in dieser Richtung dienen kann.“

Der Artikel wurde in der Zeitschrift Nature Communications veröffentlicht.

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